베이즈 정리

\(\text{조건부 확률} P(B∣A) \text{를 알고 있을 때 정반대의 조건부 확률} P(A∣B) \text{를 구하는 방법.}\) \(P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)}\)

쉽게 말하면, 여집합을 구하는 공식이 바로 베이즈 정리라고 할 수 있다.

Quiz 1

10장의 카드가 있다. 3장이 내가 좋아하는 카드다. 만약 내가 3장을 뽑을 시 내가 원하는 카드를 최소 한 장이라도 손에 넣을 확률을 구하라.
내가 원하는 카드를 한 장도 못 얻을 확률을 계산하면 된다.
\[P(\text{한 장도 못 얻을 확률}) = \frac{7}{10}\cdot\frac{6}{9}\cdot\frac{5}{8} = \frac{210}{720}\] \[P(\text{한 장이라도 얻을 확률}) = 1 - \frac{210}{720} \approx 70.83\%\]

3% 확률로 당첨되는 복권을 구매했다. 당첨 예상번호의 적중 확률은 20%다. 이때 실제 당첨 확률을 구하라.
A는 복권 당첨 확률, B는 당첨 예상번호의 적중이다.
\(P(A): \text{복권 당첨 확률} = 3\%\) \(P(B|A): \text{복권이 당첨될 때 당첨 예상번호를 적중할 확률} = 20\%\) \(P(B^′|A): \text{복권이 당첨될 때 당첨 예상번호를 틀릴 확률} = 80\%\) \(P(B^′∣A): \text{복권이 당첨되지 않을 때 당첨 예상번호를 적중할 확률} = 20\%\) \(P(B^′∣A^′): \text{복권이 당첨되지 않을 때 당첨 예상번호를 틀릴 확률} = 80\%\)
\[\text{여기서,}\] \[P(A^′) = 1 - P(A)\] \[\text{따라서,}\] \[P(B) = P(B|A) \cdot P(A) + P(B|A^′) \cdot (1 - P(A))\] \[= 0.2 \cdot 0.03 + 0.8 \cdot (1 - 0.03)\] \[= 0.006 + 0.8 \cdot 0.97 = 0.006 + 0.776\] \[P(B) = 0.782\] \[P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)}\] \[P(A|B) = \frac{0.2\cdot0.03}{0.782}\] \[P(A|B) = \frac{0.006}{0.782}\] \[P(A|B) \approx 0.77\%\]