이항 정리
이항 정리는 n개의 아이템 중에서 k개의 아이템을 선택하는 경우의 수다.
\[(a + b)^n = \sum_{k=0}^n \, (_k^n)a^{n-k}b^k\]여기서, 이항 계수는
\[(_k^n) = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]이항 정리를 사용하여 전개해보자.
\[(x + y)^3 = (_0^3)x^3y^0 + (_1^3)x^2y^1 + (_2^3)x^1y^2 + (_3^3)x^0y^3\]이를 계산하면,
\[x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3\]파스칼의 삼각형
이항 계수를 나타내는 삼각형 형태의 배열을 바로 파스칼의 삼각형이라고 부른다. 해당하는 수는 자기 머리 위의 수 2개를 더해서 나온 결괏값이다.
1
2
3
4
5
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
규칙은 다음과 같다.
- 맨 위와 양쪽 끝의 수는 항상 1이다.(꼭짓점은 항상 1)
- 각 내부의 숫자는 위의 두 숫자를 더한 값이다.
n개의 아이템 중 k개의 아이템을 선택할 때,
\((\frac{n}{k})\) 라고 적으며, n번째 행의 k번째 숫자라고 적는다.
예: 6개의 아이템 중 3개의 아이템을 선택한다.
\[(\frac{6}{3})\]1
2
3
4
5
6
7
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
10 + 10 = 20이다. 꼭대기 꼭짓점을 포함해서, 모서리들의 1은 행과 열에서 제외한다.
표본 공간
- 어떤 확률적인 실험에서 발생할 수 있는 모든 가능한 결과의 집합
표본공간 S의 정의:
\[S = {s_1, s_2, _{\ldots}, s_n}\]표본공간의 크기:
\[∣S∣ = n\]예컨대 주사위를 던질 경우, 표본공간의 크기는 6이다.
- 사건: 표본공간의 부분집합이다. 어떤 특정한 결과의 집합을 나타낸다.
예컨대 주사위를 던질 경우, 홀수가 나오는 사건은 {1, 3, 5}다.
따라서 각 사건이 일어날 확률은 1/2이다.