오일러 공식

\[e\,i\theta = \cos(\theta) + i \sin(\theta)\] \[e = \text{자연 로그의 밑,} i = \text{허수}\] \[\text{이 공식은 복소수 평면에서의 원점(0, 0)과} e\,i\theta \text{의 위치를 연결한다.}\] \[e\,i\theta \text{는 삼각함수의 주기성을 갖는 원주 위의 한 점으로 나타낼 수 있다.}\]
  • 특수한 경우
\[\theta = \pi \text{인 경우, 오일러 공식은 } e\,i\pi + 1 = 0 \text{인, 오일러 항등식을 파생한다.}\] \[\theta = \frac{\pi}{2} \text{인 경우, 공식은 } e\,i\frac{\pi}{2} = i \text{로 복소수 평면에서 양의 허수축에 해당하는 복소수 } i \text{를 얻는다.}\]

Quiz 1

\[e\,i\pi \text{의 값을 구하시오.}\]
  • 공식에 따르면,
\[e\,i\pi + 1 = 0\]

이 성립한다고 한다. 따라서 이것의 값은 -1이다.

Quiz 2

\[e\,i\theta = \cos(\theta) + i \sin(\theta)\text{에서, } \theta = \frac{\pi}{4} \text{일 때의 } e\,i\theta \text{ 값을 구하시오.}\]
  • 공식에 따르면, 주어진 각도 β에 대해,
\[e\,i\theta = \cos(\theta) + i \sin(\theta)\]

이 성립한다.

\[e\,i\theta = \cos(\frac{\pi}{4}) + i \sin(\frac{\pi}{4})\] \[= \cos(\frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\sin}{4}) = \frac{\sqrt2}{2}\]

실수부와 허수부를 합하면,

\[e\,i\theta = \frac{\sqrt2}{2} + i\frac{\sqrt2}{2}\]