심화 개념
\(A = \{3, 4, 5\}\) \(\sum_{i \in A}f(i)\)
여기서는 i가 뭔지 정해지지 않았기에, \(\sum_{i \in A}f(i) = f(3) + f(4) + f(5)\) 로 적어둔다.
\(\sum_{2 < i < 6}f(i)\) 위와 같이 적을 수도 있다.
등비급수
\[\sum_{n=m}^{4} ar^n \text(단, r≠1일 때)\]대충 보면 풀 수가 없다. 이는 다음과 같이 풀 수 있다.
\[S = \frac{a(m-r^{4+1})}{1-r} = \frac{a-ar^5}{1-r}\]- a는 등비급수의 첫째 항
- r은 등비
- m은 합의 시작 지수
- 4는 합의 끝 지수
합의 시작(m)이 0이 아닌 경우에 대한 일반적인 등비급수의 합 공식이다. 등비급수의 합에서 등비 r은 1이 아니어야 한다. 1 - r을 할 경우 0이 되면 안 되기 때문이다. 그래서 등비급수의 공식은 r≠1일 때를 가정한다.
- 등비급수란?
각 항이 이전 항에 일정한 비(ratio)로 곱해지는 수열이다. 등비급수의 형태는 다음과 같다. \(a, ar, ar^2, ar^3, \ldots\)
만약 등비(r)가 2, 첫째 항(a)이 3인 등비급수를 계산해보자.
\[3, 6, 12, 24, \ldots\]각 항은 이전 항에 2를 곱해서 만들어진다.
등비급수의 합 공식은 아래와 같다.
\(S = \frac{a(1-r^n)}{1-r}\) S는 등비급수의 합, n은 합의 끝 지수를 의미한다. 다시 말하지만 r≠1이어야 한다.
Quiz 1
다음 문제를 풀어라.
\[\sum_{i=1}^\infty ir^i 단, r<1일 때\]첫째 항부터 시작하는 등비급수의 합 공식:
\[S = \frac{a}{(1-r)^2}\]a는 등비급수의 첫째 항이다. 따라서 ir이다.
\[S = \frac{ir}{(1-r)^2}\]Quiz 2
다음 문제를 풀어라.
\[\sum_{i=2}^3 ir^i 단, r=2일 때\]풀이는 다음과 같다.
\(\sum_{i=2}^3 2i^i = \sum^3 2\cdot2^2 = 2\cdot2^2 + 3\cdot2^3\) \(= 8 + 24 = 32\)
Quiz 3
다음 문제를 풀어라.
\[S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{3^n}\]여기서는 다음 공식을 쓴다.
\[S = \frac{a}{(1-r)}\]어? 아까는 제곱이 들어갔는데 이번에는 빠졌네? 할 수도 있다.
- 일반적인 등비급수의 합은 제곱이 빠진 게 맞다. a는 등비급수의 첫째 항, r은 등비다. r≠1일 때 사용한다. 제곱이 있는 등비급수의 합은 두 번째 항부터 시작한다. 즉, 첫째 항을 무시한다.
즉, r=1에서는 제곱을 빼고 사용한다. 다시 문제를 풀어보자.
\[S = \frac{a}{1-\frac{1}{3}} = \frac{1}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2}\]주어진 등비급수의 합은 3/2다.
Quiz 4
다음 문제를 풀어라.
\[S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n^2 + 3n + 5}{3^n}\]주어진 항을 나열하면 다음과 같다.
\[\frac{2}{3} + \frac{10}{9} + \frac{26}{27} \ldots\]첫째항 a는 2/3고 등비는 1/3이다.
\(S = 1 - \frac{\frac{2}{3}}{1 - \frac{1}{3}}\) \(= \frac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}} = 1\)